La teoria dei giochi e l’equilibrio di Nash
di Ilaria Ricci
“Sia che analizziamo le strategie di elezione dei candidati, le cause della guerra, la manipolazione degli ordini del giorno nelle legislature, o le azioni delle lobby, le previsioni circa gli eventi si riducono ad una ricerca o ad una descrizione degli equilibri. In termini più semplici, le strategie di equilibrio sono ciò che prevediamo delle persone.” (Peter Ordeshook)
Nel 1928 il matematico John von Neumann pubblicò un articolo destinato a segnare la nascita della moderna teoria dei giochi, intitolato On the Theory of Games of Strategy. Il metodo matematico sviluppato da Neumann, conosciuto come il teorema del minimax, considera una situazione di conflitto strategico tra due giocatori razionali. Il minimax prevede che, nei giochi finiti (con un numero finito di mosse) a somma zero, dove ogni punto guadagnato da un giocatore viene perso nella stessa misura dall’altro, i partecipanti possono applicare una strategia ottimale che minimizzi la perdita massima possibile, oppure che minimizzi il massimo guadagno dell’avversario.
Partiamo dal lancio di una monetina e da una scommessa: testa o croce? Una volta che la monetina cadrà a terra, ciò che sarà guadagnato da un giocatore verrà indubbiamente perso dall’altro.
Ora immaginiamo i nostri due giocatori: il primo sceglie di massimizzare il suo guadagno minimo (maximin), mentre il secondo di minimizzare il massimo guadagno del primo (minimax). Il teorema dimostra che queste due quantità possono coincidere, definendo una quantità comune, chiamata il valore del gioco.
Arriviamo al punto cruciale del teorema: Sasso, Carta, Forbici!
Non sempre esiste una soluzione in condizioni di strategie così pure, ma può emergere in situazioni di strategie miste. A volte risulta necessario optare per una strategia mista ottimale, ovvero giocare ogni mossa considerando la probabilità: se puntiamo forbici, abbiamo una probabilità su tre di vincere, una su tre di perdere e una su tre di pareggiare.
Quale strategia possiamo usare per aumentare la probabilità di vittoria? Non esiste una strategia pura che garantisca un vantaggio stabile: se scegliessimo sempre la stessa mossa l’avversario potrebbe facilmente intuirla e sfruttarla. Una strategia mista può risultare la scelta migliore: puntiamo una volta forbici, una seconda volta sasso, e all’ultimo turno, carta. Ad ogni mossa, assegniamo la stessa probabilità, una su tre.
Il risultato? Un punto di equilibrio. Il teorema minimax dimostra che, anche quando non esiste una strategia pura ottimale, si può sempre adottare una combinazione ottimale di scelte probabili che stabilizzino il conflitto trasformandolo in equilibrio.
Non si gioca solo in modo prudente, ma si adottano strategie di equilibrio, perché è solo lì, sul filo, che nessuno dei due partecipanti potrà sistematicamente essere sfruttato e il rischio massimo è controllato. L’idea di Neumann riguarda l’invulnerabilità: una versione calcolata e fredda del conflitto dove vince chi non può essere intrappolato.
Successivamente alla pubblicazione del 1928, von Neumann si dedicò, con la collaborazione dell’economista Oskar Morgenstern, alla stesura del libro Theory of Games and Economic Behavior del 1944. Entrambi gli studiosi provarono a dimostrare in termini matematici le modalità di comportamento di più partecipanti impegnati in situazioni di vincita, oppure di spartizione di premi. La teoria dei giochi iniziava a definire chiaramente la sua struttura: si utilizzava la matematica per tentare di spiegare le strategie degli avversari e gli andamenti del gioco.
L’ampliamento della teoria dei giochi, includendo un numero n di giocatori in situazioni di gioco non cooperativo – dove la somma non risulti necessariamente zero e in assenza di accordi vincolanti – si deve al matematico statunitense John Forbes Nash, Premio Nobel per l’economia nel 1994. Nei suoi scritti di dottorato del 1950, Nash riportò la formulazione di una nuova teoria dell’equilibrio, poi definita l’Equilibrio di Nash.
Immaginiamo non due giocatori generici, bensì dei prigionieri, ognuno isolato nella propria cella. Ognuno ha due possibilità: confessare oppure rimanere in silenzio. Ai prigionieri sono date inoltre tre condizioni: se nessuno parla, la pena per ciascuno sarà di un anno; se entrambi confessano, riceveranno una pena di 5 anni; infine, se un prigioniero confessa e l’altro tace: il primo sarà libero e il secondo dovrà scontare una pena di 6 anni.
I prigionieri non hanno possibilità di confrontarsi e, di conseguenza, l’interrogatorio diventerà un vero e proprio gioco non cooperativo.
Cosa sceglieranno i nostri prigionieri?
Qualunque cosa scelga di fare l’altro, confessare risulta essere la scelta più conveniente. Non conoscendo le rispettive decisioni, nessuno dei prigionieri avrà interesse a cambiare unilateralmente la propria decisione. Eppure, un esito migliore per entrambi esiste – un solo anno ciascuno – ma richiederebbe fiducia e cooperazione: si sviluppa dunque una tensione tra razionalità individuale e interesse collettivo.
“Un gioco può essere descritto in termini di strategie che i giocatori devono seguire nelle loro mosse: l’equilibrio c’è quando nessuno riesce a migliorare in maniera unilaterale il proprio comportamento. Per cambiare occorre agire insieme.” (John Nash)
Si definisce equilibrio quando, in scenari non cooperativi – per esempio, la competizione tra imprese sui prezzi, oppure la corsa agli armamenti tra stati – prevalga una strategia che massimizzi i guadagni per tutte le parti. Di fronte a tale equilibrio, i partecipanti non mostrano alcun interesse a cambiare la propria scelta. Non è la soluzione migliore per il singolo giocatore, ma rappresenta la scelta ottimale per tutti i giocatori. Nella sua tesi, Nash sosteneva che in un gioco non cooperativo si raggiunge almeno un punto di equilibrio: ci si allontana dal conflitto puro per avvicinarsi all’equilibrio dell’interdipendenza. Tale formulazione può offrire un quadro analitico utile per interpretare situazioni in cui le decisioni di un individuo dipendono da quelle altrui, portando a risultati stabili e convenienti. La teoria di Nash non solo rappresenta un concetto centrale nella Teoria dei Giochi, ma trova applicazioni fondamentali anche negli ambiti politico-economici. Si prendono in considerazione, oltre ai giocatori astratti, agenti economici reali – imprese, consumatori, istituzioni – che adottano strategie interdipendenti. L’equilibrio sposta l’asse dalla mera ottimizzazione individuale alla stabile convenienza collettiva. Si arriva ad un punto di equilibrio in cui nessun attore sociale tende ad aumentare il proprio profitto, modificando, unilateralmente, la propria produzione. L’equilibrio proposto da Nash diventa uno strumento rigoroso per comprendere e modellare le interazioni strategiche, dalla formazione dei prezzi alle negoziazioni internazionali.
“Matematica è una parola greca che all’inizio includeva i concetti di musica e astronomia. Solo nell’accezione contemporanea è diventata una materia a sé. Ma secondo me continua a essere intrinsecamente collegata a innumerevoli altre discipline.” (John Nash)
